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《数学分析》(604)考研大纲

作者:王恒友| 审核:白羽 | 发布日期:2022-10-26

《数学分析》(604)考研大纲

(一)实数与函数

考试内容

绝对值与不等式,确界原理,函数及性质。

考试要求

理解和掌握邻域,有界集,上、下确界,函数,复合函数,反函数,有界函数,单调函数,奇、偶函数,周期函数等概念。

(二)极限与连续

考试内容

数列极限定义,收敛数列的性质,单调有界原理,柯西准则,函数极限定义(趋于无穷大时的极限,趋于某一定数时的极限),函数极限性质,归结原理,柯西准则,两个重要极限,无穷小量,无穷大量概念,无穷小量阶的比较,连续性概念,连续函数的局部性质,闭区间上连续函数的性质,反函数连续函数,一致连续性,指数函数的连续性,初等函数连续性,实数完备性定理:区间套定理,柯西准则,聚点定理,有限覆盖定理等。

考试要求

理解和掌握:数列极限的定义及计算,数列极限性质的原理及推导,单调有界原理,柯西准则及应用,函数极限的定义及计算,函数极限存在的归结原理,两个重要极限的计算,无穷小量,无穷大量概念,无穷小量阶的比较及应用,一致连续性及应用,连续性的定义及其证明,间断点及其分类,连续函数的局部性质,闭区间上连续函数的性质,区间套定理,柯西准则,聚点定理,有限覆盖定理原理及证明,闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。

(三)导数与微分

考试内容

导数概念,导函数,导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导数,求导法则与公式,微分概念,微分的运算法则,高阶导数与高阶微分,参数方程的一阶及二阶导数。

考试要求

理解和掌握:导数概念,导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导数,求导法则与公式,微分概念,微分的运算法则,高阶导数与高阶微分,参数方程的一阶及二阶导数。

(四)微积分基本定理,不定式极限,导数研究函数

考试内容

中值定理,洛必达法则,不定式极限,泰勒公式,皮亚诺余项泰勒公式,函数的单调性与极值,函数的凸性,拐点,函数的图象讨论渐进线,作图。

考试要求

理解和掌握:费马定理,中值定理的原理及应用。熟练计算不定式极限,熟练掌握泰勒公式,皮亚诺余项泰勒公式原理及应用,函数的单调性与极值,函数的凸性,拐点。

(五)积分

考试内容

原函数,不定积分及其运算法则,换元积分及分部积分法,有理函数的积分,三角函数的积分,定积分的定义,可积必要及充分条件,可积函数类,定积分的性质原理,微积分基本定理,换元积分法,分部积分法,非正常积分的定义和性质,平面图形的面积,由截面面积求立体体积,弧长的定义与弧长计算公式,旋转曲面的面积,定积分在物理上的应用:压力、功和重心。

考试要求

理解和掌握:不定积分的运算法则,换元积分,分部积分法,有理函数的积分,三角函数的积分,定积分的定义,可积必要及充分条件,可积函数类,熟练掌握定积分的性质原理,微积分基本定理,换元积分法,分部积分法,掌握非正常积分的定义,性质。

(六)级数

考试内容

级数的收敛性及发散,正项级数,一般判别原则,比较及根式判别方法,积分判别方法,一般项级数(如交错级数),绝对收敛,阿贝尔判别法,一致收敛性,函数列与一致收敛性,函数项级数函数项级数,函数项级数的一致收敛性判别法,一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理,幂级数及其收敛区间,幂级数的性质与运算,函数的幂级数展开。

考试要求

理解和掌握:级数一般判别原则,比较及根式判别方法,积分判别方法原理及使用,绝对收敛,阿尔判别法和狄里克里判别法,函数列的一致收敛性,函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用,一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。

(七)傅里叶级数

考试内容

三角函数系,正交函数系,傅里叶级数及其收敛定理,傅里叶级数展开,偶函数与奇函数的傅里叶级数。

考试要求

理解和掌握:傅里叶级数展开,偶函数与奇函数的傅里叶级数展开。

(八)多元函数的极限与连续

考试内容

平面点集,完备性定理,函数概念,二元函数的极限,累次极限,连续性概念,闭域连续性的性质。

考试要求

理解和掌握:平面点集,多元函数概念,完备性定理,二元函数的极限和累次极限的计算,连续性概念,闭域上连续函数的性质。

(九)多元函数的微分学

考试内容

可微性,全微分,偏导数,可微性条件,复合函数的求导法则,复合函数的全微分,方向导数与梯度,泰勒公式与极值,中值定理和泰勒公式,极值问题,隐函数定理,隐函数组定理,隐函数求导,曲线切线,曲面的法平面。

考试要求

理解和掌握:可微性,全微分,偏导数,可微性条件概念,复合函数的求导法则,复合函数的全微分,理解方向导数与梯度概念,高阶偏导数,极值的充分及必要条件原理及应用,熟练掌握隐函数,隐函数组的求导原理及应用。

(十)重积分、参变量非正常积分、曲线积分与曲面积分

考试内容

二重与三重积分概念,重积分可积条件,累次积分,换元积分,参量积分求导,曲面面积,重心,转动惯量,引力,含参变量非正常积分判别方法,分析性质,欧拉积分概念及性质,第一型曲线积分与第一型曲面积分概念,计算公式,第二型曲线积分概念,计算公式,格林公式,曲线积分与路径无关, 第二型曲面的侧的概念,计算公式,高斯公式及原理,斯托克斯公式及原理。

考试要求

理解和掌握:二重与三重积分概念与计算,曲面面积,重心,转动惯量,引力,第一型曲线积分与第一型曲面积分概念及其计算公式,第二型曲线积分与第二型曲面积分概念及其计算公式,含参量非正常积分概念,欧拉积分概念及性质,格林公式,路径无关定理,高斯公式及原理,斯托克斯公式及原理。

《数学分析》(604)考研题型

填空题、选择题、计算题、证明题和综合题

《数学分析》(604)参考书

1、数学分析(上、下册) 第四版 华东师范大学数学教研室编 高等教育出版社

2、数学分析(上、下册) 第五版 东北师大 高等教育出版社

3、数学分析习题解(相关教材配套课后习题解答,版本不限)

4、数学分析习题集 吉米多维奇 山东科学技术出版社。